Y557 - ESAME DI
STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Il
candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il
questionario.
PROBLEMA
1
Due numeri x e y hanno somma
e quoziente uguali ad un numero reale a non
nullo.
Riferito il piano ad un
sistema S di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (x,y):
1.
si interpreti e discuta il problema graficamente al variare di a;
2.
si trovi l’equazione cartesiana del luogo g dei
punti P(x,y) che soddisfano al problema;
3.
si rappresentino in S sia la curva g che la curva g’ simmetrica di g rispetto alla bisettrice del I e del III
quadrante;
4.
si determini l’area della regione finita di piano del primo quadrante
delimitata da g e da g’ e se ne dia un’approssimazione applicando
uno dei metodi numerici studiati;
5.
si calcoli y nel caso che x sia uguale a 1 e si colga la particolarità
del risultato.
I raggi OA = OB = 1 metro
tagliano il cerchio di centro O in
due settori circolari, ciascuno dei quali costituisce lo sviluppo della
superficie laterale di un cono circolare retto.
Si chiede di determinare:
1)
il settore circolare (arco, ampiezza e rapporto percentuale con il
cerchio) al quale corrisponde il cono C di volume massimo, il valore V di tale
volume massimo e il valore V’ assunto in questo caso dal volume del secondo
cono C’;
2)
la capacità complessiva, espressa in litri, di C e di C’;
3)
un’approssimazione della misura, in gradi sessagesimali, dell’angolo di
apertura del cono C, specificando il metodo numerico che si utilizza per
ottenerla.
QUESTIONARIO
1. Se a e b sono numeri
positivi assegnati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i
numeri assegnati sono n?
2. Il seguente è uno dei
celebri problemi del Cavaliere di Méré
(1610 - 1685), amico di Blaise Pascal: “giocando a dadi è più
probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure
almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
Y557 - ESAME DI
STATO DI LICEO SCIENTIFICO
3. Assumendo che i risultati - X, 1, 2 - delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.
4. Calcolare
5.
Cosa si intende per “funzione
periodica”? Quale è il periodo di
6.
Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio
7.
Data la funzione
calcolarne i limiti per x
tendente a +¥ e -¥ e provare che esiste un numero reale a con 0<a<1 in cui la funzione si
annulla.
8.
Verificare che la funzione
9.
Trovare f(4) sapendo che
10. Spiegare, con esempi appropriati,
la differenza tra omotetia e similitudine nel piano.
PROBLEMA 1
Due numeri x e y hanno somma e quoziente
uguali ad un numero reale a non
nullo.
Riferito il piano ad un sistema S di
coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (x,y):
6.
si interpreti e discuta il problema graficamente al variare di a;
Graficamente
il problema corrisponde all’intersezione fascio di rette improprio
alla
stessa conclusione si arriva anche per via algebrica
dato che
Se
Ho
sempre una soluzione per a¹1 e nessuna soluzione per
a=1
7.
si trovi l’equazione cartesiana del luogo g dei
punti P(x,y) che soddisfano al problema;
Il luogo si trova eliminando
il paramentro a
e quindi il luogo
8.
si rappresentino in S sia la curva g che la curva g’ simmetrica di g rispetto alla bisettrice del I e del III
quadrante;
La trasformazione
richiesta è t:
Studio di
C.E.
Intersezione con gli assi:
0(0,0)
Asintoti:
Verticali x=1
Orizzontali non ne ha dato
che ha in numeratore di grado superiore rispetto al denominatore.
Obliquo:
Derivata:
Secondo La trasformazione
richiesta è t:
Anche
Verticali x=1 secondo la
trasformazione t diventa y=1
L’asinto Obliquo: rimane
Il punto
9.
si determini l’area della regione finita di piano del primo quadrante
delimitata da g e da g’ e se ne dia un’approssimazione applicando
uno dei metodi numerici studiati;
Le due
curve si intersecano in
Dato che
L’area cercata è simmetrica rispetto a y=x basta che calcolo l’area tra g e y=x
e moltiplico per x
e quindi
Calcoliamo
l’Integrale con il metodo dei trapezi nell’intervallo
n=10
e
|
n |
x |
fx |
|
|
|
|
0 |
0 |
-0 |
|
s= |
0,112457 |
|
1 |
0,05 |
0,094737 |
|
S= |
0,112457 |
|
2 |
0,1 |
0,177778 |
|
|
|
|
3 |
0,15 |
0,247059 |
|
|
|
|
4 |
0,2 |
0,3 |
|
I= |
0,112457 |
|
5 |
0,25 |
0,333333 |
|
|
|
|
6 |
0,3 |
0,342857 |
|
|
|
|
7 |
0,35 |
0,323077 |
|
|
|
|
8 |
0,4 |
0,266667 |
|
|
|
|
9 |
0,45 |
0,163636 |
|
|
|
|
10 |
0,5 |
2,22E-16 |
|
|
|
10. si calcoli y nel caso che x sia uguale a 1 e si colga la particolarità
del risultato.
che è la sezione aurea di un segmento uguale a 1.
Infatti
I raggi OA = OB = 1 metro
tagliano il cerchio di centro O in
due settori circolari, ciascuno dei quali costituisce lo sviluppo della
superficie laterale di un cono circolare retto.
Si chiede di determinare:
4)
il settore circolare (arco, ampiezza e rapporto percentuale con il
cerchio) al quale corrisponde il cono C di volume massimo, il valore V di tale
volume massimo e il valore V’ assunto in questo caso dal volume del secondo
cono C’;
L’arco è
pari a
da cui stremanti x=0
Arco
Rapporto tra aree
.
5)
la capacità complessiva, espressa in litri, di C e di C’;
SE per
C
E
6)
un’approssimazione della misura, in gradi sessagesimali, dell’angolo di
apertura del cono C, specificando il metodo numerico che si utilizza per
ottenerla.
L’apertura dell’angolo
|
N. |
a |
b |
m |
fa |
fb |
fm |
|
1 |
0,785398 |
1,047198 |
0,916298 |
-0,10939 |
0,049529 |
-0,02314 |
|
2 |
0,916298 |
1,047198 |
0,981748 |
-0,02314 |
0,049529 |
0,014973 |
|
3 |
0,916298 |
0,981748 |
0,949023 |
-0,02314 |
0,014973 |
-0,00365 |
|
4 |
0,949023 |
0,981748 |
0,965385 |
-0,00365 |
0,014973 |
0,005772 |
|
5 |
0,949023 |
0,965385 |
0,957204 |
-0,00365 |
0,005772 |
0,001088 |
|
6 |
0,949023 |
0,957204 |
0,953113 |
-0,00365 |
0,001088 |
-0,00127 |
|
7 |
0,953113 |
0,957204 |
0,955159 |
-0,00127 |
0,001088 |
-9,1E-05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sol.= |
0,955159 |
|
|
|
|
|
In radianti
Quesiti
11. Se a e b sono numeri
positivi assegnati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i
numeri assegnati sono n?
In
generale
12. Il seguente è uno dei
celebri problemi del Cavaliere di Méré
(1610 - 1685), amico di Blaise Pascal: “giocando a dadi è più
probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure
almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
Probabilità di ottenere almeno una volta 1 = Probabilità di non ottenere mai 1
Probabilità di ottenere almeno una volta un doppo 1 = Probabilità di non ottenere mai un doppo 1
13. Assumendo che i risultati - X, 1, 2 - delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.
14. Calcolare
la
successione
è
descrescente per n>3 infatti
è decrescente da n=3 in poi. Allora
Se
t è il massimo numero per cui
15. Cosa si intende per “funzione periodica”? Quale è il periodo di
da cui T=6
16. Utilizzando il teorema di
Rolle, si verifichi che il polinomio
Se
Se n è
pari. n-1 è dispari. Allora se f(x) ha
due soluzioni
Se n è
dispari. n-1 è pari. Allora se f(x) ha
al pui tre soluzioni dato che
Esempio: Se
Esempio: Se
17. Data la funzione
calcolarne i limiti per x
tendente a +¥ e -¥ e provare che esiste un numero reale a con 0<a<1 in cui la funzione si
annulla.
dato che sinx è una funzione che oscilla tra -1 e 1 .
18. Verificare che la funzione
19. Trovare f(4) sapendo che
20. Spiegare, con esempi
appropriati, la differenza tra omotetia
e similitudine nel piano.
Omotetia
Una similitudine è una affinità che trasforma un
segmento AB in un segmento A’B’ tale che