A. S. 1999/2000

 

BRST - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

 

Indirizzo: SCIENTIFICO TECNOLOGICO – Progetto “BROCCA”

 

CORSO SPERIMENTALE

 

Tema di: MATEMATICA

 

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

 

1.  Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni:

f (x0) > 0 ,     f ’(x0) > 0 ,     f ”(x0) = 0 ,

dove x0 è un particolare valore reale.

 

a)      Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l’andamento di f(x) in un intorno di x0.

Tali condizioni non sono sufficienti perché non sappiamo se in f ”(x0) = 0, c’è un flesso o la concavità verso l’alto, questo me lo dice la derivata terza. Infatti:

Se f ‘’(x0) = 0  e se      f ‘’’(x0) ≠ 0 ,   ho un flesso

 

Se f ‘’(x0) = 0  e se      f ‘’’(x0) =0,         f IV(x0) ≠ 0 ,   ho la concavità verso l’alto o verso il basso.

b)     Trovare almeno tre funzioni polinomiali f(x), di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi in x0 = 0, tali che:

f (0) = 1 ,     f ’(0) = 1 ,     f ”(0) = 0 .

1)    

2)     

3)     

 

c)    Determinare, se possibile, tutte le rette tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla retta di equazione y = x + 1.

1)   da cui  solo per    e allora  da cui   

2)    da cui  solo per    e allora  da cui    

3)     da cui  solo per    e allora  da cui   

 

 

 

 

 

 

d)   A completamento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione xn, dove n è un intero qualsiasi non nullo.

Si può dimostra per induzione:

per  n=0   

per  n=1     

per  n=2   

Supposto vero per n-1 dimostriamolo per n

  ho che (proprietà della moltiplicazione)

 

oppure con il rapporto incrementale  considerando che   e quindi tutti i termini h superiore al secondo grado vanno a zero

 

 

 

2.  Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti: A(0, 2), B(1, 1), C(1, 0).

a)      Trovare l’equazione della circonferenza g inscritta nel triangolo OAB.

La circonferenza deve essere tangente ai lati dei triangolo OAB. Allora per simmetria, dato che il triangolo è isoscele ha l’ordinata del centro uguale a 1.  allora   

Per determinare  imponiamo che  (raggi della circonferenza) inoltre  osserviamo che   e che la retta per OB ha equazione  Allora    da cui   

Risolvendo   da cui     e   che è negativa e si scarta.

La circonferenza è allora    

 

 

 

 

b)      Determinare le equazioni dell’affinità a che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto B nel punto A.

 

     da cui p=0 e q=0

 

        da cui a=1 e c=0

 

 

        da cui b=-1 e d=2

allora 

 

c)      Calcolare l’area del triangolo CAA’, dove A’ è il punto trasformato di A nell’affinità a.

A’ ha coordinate

 

 

d)      Stabilire se l’affinità a ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.

      otteniamo una rette di punti uniti

 si trasforma in       e quindi

le due rette saranno unite quando  dalla seconda otteniamo che b=a e allora sono unite le rette

 ovvero   

e)      Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultano tangenti o esterne a g .

La retta y=0 è sicuramente esterna a  g . in vece  le rette unite saranno secanti, tangenti o esterne  a seconda che la distanza dal centro sia minore , uguale o maggiore del raggio.

        

    e     e quindi   soluzioni     e     

 

 

 

 

3.    Assegnata la funzione:

dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:

a)      determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto (;

  da cui  da cui          

 

 

b)      disegni la curva grafico della f(x) per i valori di a e di b così ottenuti e calcoli l’area della regione finita da essa delimitata con l’asse x.

Campo di esistenza x>0

Positività    da cui    da cui 

 

 x=0 asintoto orizzontale

 scartando i termini di grado inferiore

 

        minimo.

  da cui       concavità positiva  e flesso per   

 

 

Abbiamo già visto che interseca l’asse x in 1 e in e.

Allora l’area richiesta  è

allora

e siccome è negativa l’integrale vale

 

Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso numero.

 

Se un evento ha probabilità p e  devo calcolare la propabilità che quell’evento accada k volte su un n possibilità si usa la seguente formula

  . Se per esempio devo calcolare la probabilità che esce 1 tre volte su 5 lanci. Considero che la probabilità che esce 1 è   allora   siccome per avere la propabilità rischesta devo moltiplicare per 6.