PROBLEMA 1

Sia la curva d'equazione:

ove e sono parametri positivi.

1. Si studi e si disegni ;
2. si determini il rettangolo di area massima che ha un lato sull'asse x e i vertici del lato opposto su ;
3. sapendo che e assumendo , si trovi il valore da attribuire a affinché l'area compresa tra e l'asse x sia 1;
4. per i valori di e sopra attribuiti, è detta curva standard degli errori o delle probabilità o normale di Gauss (da Karl Friedrich Gauss, 1777-1855). Una media e uno scarto quadratico medio come modificano l'equazione e il grafico?

PROBLEMA 2

Sia f la funzione così definita:

con a e b numeri reali diversi da zero.

1. Si dimostri che, comunque scelti a e b, esiste sempre un valore di x tale che
2. Si consideri la funzione g ottenuta dalla f ponendo a = 2b = 2. Si studi g e se ne tracci il grafico.
3. Si consideri per x > 0 il primo punto di massimo relativo e se ne fornisca una valutazione approssimata applicando un metodo iterativo a scelta.

QUESTIONARIO

 

1. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
2. Si provi che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.
3. Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l'area della sua superficie?
4. Dati gli insiemi e quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
5. Dare un esempio di funzione g, non costante, tale che:
   e
6. Dare un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (-1, 2).
7. Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo.
8. Si trovino due numeri reali a e b, , che hanno somma e prodotto uguali.
9. Si dimostri che l'equazione ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.
10. Nel piano è data la seguente trasformazione:
    

    Di quale trasformazione si tratta?

Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l'uso di calcolatrici non programmabili.
Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.