Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE – P.N.I.

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni:

OD : DB = OA : DP
OC : DP = DP : BC
ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e

monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è:

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio g.

PROBLEMA 2

Sia  con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:

1.                    1. la funzione f sia pari;

2.                    2. f(0)=2;

3.

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori così determinati e se ne disegni il
grafico G.
Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti
in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.
Si calcoli l’area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.

Si calcoli   � dx .
Si determini la funzione g’ il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

Pag. 2/2                                                                        Sessione ordinaria 2003 $$$$$.2.1/1

N° ######/03                                                               Seconda prova scritta

CORSO SPERIMENTALE – P.N.I.

Tema di: MATEMATICA

QUESTIONARIO

1.                    1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

2.                    2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

3.                    3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

4.                    4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

5.                    5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione:

xn + an-1xn-1 + .......... + a1 x + a0 = 0

ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione:

nxn-1 +( n-1) an-1xn-2 + ......... + a1 = 0

6. Si vuole che l’equazione x3 + bx -7 = 0 abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

7. Verificare l’uguaglianza

e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di p, applicando un metodo di integrazione numerica.

8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da

9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e che f ¢ (0 ) = 1.

Quanto vale     ?

10. Verificare che l’equazione         x3 -3x + 1 = 0 ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Problema n°1

La circonferenza, passa per l’origine e ed è tangente alla retta t in A. Se Consideriamo l’il diametro OA sull’asse x e il punto O coincidente con l’origine degli assi allora la circonferenza ha raggio  e centro

allora la circonferenza   da cui la circonferenza ha equazione

. Allora il punto B è il punto di intersezione tra la retta r e la circonferenza      da cui

Considerando che C ha cordinate  allora   da cui  elimino m si ha   da cui il luogo è    . Ovviamente abbiamo trovato una funzione x=f(y). Data l’arbitrarietà di scelta  degli assi scambiano gli assi  (simmetria assiale) e otteniamo

C.E. qualsiasi x appartenente ai Reali.

Curva sempre positiva e mai nulla

Asintoto orizzontale  y=0

che ha un massimo per x=0

Dato che l’asintoto è uguale a y=0

L’area è uguale a

. La circonferenza avendo raggio   ha l’area =  è quatto volte piccola di quella della curva.

Problema n° 2

1.      Se la funzione è pari allora   da cui   ;   ;   e quindi

2.       da cui

3.        ;  da cui  da cui considerando che a=b e c=2-2a allora     e quindi    da cui    dividendo per  si ha che

C.E.

sempre positivo e mai nulla

Intersezione con gli assi:

e nessuna intersezione con l’asse y

da cui    e quindi    da cui x=0 è un minimo

concavità sempre verso l’alto nessun flesso.

Evidentemente le soluzioni per cui   sono due (simmetriche) . Considerando

applico il metodo di bisezione nell’intervallo  infatti

<0  ,  >0

n

a

b

m

fa

fb

fm

fa*fm

0

1

3

2

-1,5

4,125

0,25

-0,375

1

1

2

1,5

-1,5

0,25

-0,81802

1,227029

2

1,5

2

1,75

-0,81802

0,25

-0,33911

0,277401

3

1,75

2

1,875

-0,33911

0,25

-0,05936

0,020129

4

1,875

2

1,9375

-0,05936

0,25

0,091482

-0,00543

5

1,875

1,9375

1,90625

-0,05936

0,091482

0,01512

-0,0009

6

1,875

1,90625

1,890625

-0,05936

0,01512

-0,02235

0,001327

7

1,890625

1,90625

1,898438

-0,02235

0,01512

-0,00367

8,21E-05

e  dato che la funzione è pari

da cui     : da cui   e

ponendo   si  ha che  ,   e

da cui  da cui

Quesito n°1

Dato che le squadre sono 18. Ogni squadra può incontrare altre 17 squadre per tutte le 18 squadre allora le partite saranno 18 *17=306

Quesito n°2

Quesito n°3

VA=2dm          da cui

da cui     e quindi dm3= cm3

Quesito n°4

Un polinomio che incontra l’asse x in 4 punti può essere  facendo una traslazione il polinomio richiesto è

Quesito n°5

Nell’Ipotesi che il polinomio  ammetta due radici  x1 e x2  allora il polinomio ( che è la sua derivata)   per il terorema di Rolle applicato all’intervallo   dato che ammetterà una radice .

Quesito n°6

Si vuole che l’equazione x3 + bx -7 = 0 abbia tre radici reali.  Per avere tre radi reali deve intersecare tre volte l’asse x.

Questo si può ottenere avendo un massimo positivo e un minimo negativo. Allora derivando

ottengo che  per per annullasi necessariamente deve avere b<0.

Prendendo per esempio b=-12 ottengo che  soluzioni -2  (max)e 2 (min)

Che sostiendo a  mi  danno    ovvero i massimi e minimi richiesti

Poiché   per

per  tali valori , e per     è sicuramente  .

Quesito n°7

L’uguaglianza  è presto dimostrata dato che

Dividendo l’intervallo  ottendo   e quindi ottengo che

n

x

fx

0

0

1

1

0,083333

0,993103

2

0,166667

0,972973

3

0,25

0,941176

4

0,333333

0,9

5

0,416667

0,852071

6

0,5

0,8

7

0,583333

0,746114

8

0,666667

0,692308

9

0,75

0,64

10

0,833333

0,590164

11

0,916667

0,543396

12

1

0,5

Facendo    questo numero per 4 mi da l’integrale richiesto

Come si vede non è un buon metodo di approssimazione ci sono voluti 12 passi.

Se io uso questa formula

Ossia la somma  i gli indici dispari moltiplicati per 4 e gli indici pari moltiplicati per due..  più il valore iniale e finale. Per  diviso 3

N.

x

fx

0

0

1

1

1

0,25

0,941176

3,764706

2

0,5

0,8

1,6

3

0,75

0,64

2,56

4

1

0,5

0,5

che moltiplicato per 4

(precisione in solo 4 passaggi di 4 cifre)

Quesito n°8

Secondo la formula dei soli di rotazione attorno all’asse x  se io prendo la funzione     rappresenta il solido ottenuto dalla rotazione della funzione attorno all’asse x e delimitao dai piani x=0 e x=1

Quesito n°9

da cui cost=2

allora +cost  Allora

Quesito n°10

ammette tre soluzioni perché   ha soluzioni x=-1 e x=1 che sono minimo e massimo.     per i teoremi di continuità ammette sicuramente tre soluzioni.

n

A

b

m

fa

fb

fm

fa*fm

0

0

1

0,5

1

-1

-0,375

-0,375

1

0

0,5

0,25

1

-0,375

0,265625

0,265625

2

0,25

0,5

0,375

0,265625

-0,375

-0,07227

-0,0192

3

0,25

0,375

0,3125

0,265625

-0,07227

0,093018

0,024708

4

0,3125

0,375

0,34375

0,093018

-0,07227

0,009369

0,000871

x = 0.34375