Trasformazioni
- Una
trasformazione Geometrica del piano in se è una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano.
- Una
trasformazione t , è una applicazione che fa corrispondere a ogni punto
del piano P un punto P’. e si
scrive
, t(P)=P’ , oppure con 
. P’ si dice immagine di P rispetto alla traformazione
t.
Su un di una fissato riferimento
cartesiano Oxy, al punto P(x,y) dovrà corrispondere biunivocamente il punto
P’(x,y). Ovvero ad ogni P corrisponde un
e un solo P’ e viceversa.
Le equazioni di una trasformazione t in generale saranno
,
dove f e g sono delle funzioni, tali da rendere la
applicazione t biunivoca.
Per esempio 
è una traformazione. 
non è una
trasformazione poiché al punto P(1,1) e al punto P(-1,1) corrisponde il P’(2,0) , il che contraddice la corrispondenza biunivoca.
Trasformazione inversa Essendo
t una trasformazione biunivoca, deve esister anche la trasformazione inversa che indicheremo con t-1, ovvero
quella trasformazione che al punto P’ farà corrispondere il punto P. 
.
la trasformazione inversa di 
sarà 
Composizione di trasformazioni
Date due
trasformazioni 
e 
. Si dirà trasformazione
composta 
quella trasformazione
tale che al punto P farà corrispondere
il punto P’’.
; 
; 
.
Allora la composizione della trasformazione inversa 
, di una traformazione t farà corrispondere il punto P a se
stesso. 
, 
.
Si dirà involutoria
quella trasformazione t tale che 
, t(t(P))=P ovvero quella trasformazione che composta con se
stessa mi farà corrispondere al punto P se stesso.
- Data
una trasformazione involutoria t l’inversa t-1 sarà uguale a t. t-1=t.
Nell’esempio precedente dato
, 
allora per ottenere
l’inversa basta che scambio x con x’, e y con y’.
Punti uniti, rette di
punti uniti, rette unite
Si definisce punto
unito di una trasformazione t quel punto P tale che t(P)=P.
Per trovare i punti uniti pongo x’=x e y’=y e risolvo il sistema.
P.e. dato 
si ha che 
da cui 
, 
da cui il punto
P(1,2) è il punto unito di t.
E’ possibile che una traformazione t non ha punti uniti
, 
da cui 
tale sistema
ovviamente è assurdo e quindi non da soluzioni.
E’ possibile che una traformazione t ha più punti uniti.
Si definisce retta di punti
uniti, quella retta r che ha tutti i suoi punti uniti rispetto alla
trasformazione t.
, 
da cui 
, come si vede
ottengo come soluzioni due rette coincidenti, la retta y=x-2 è una retta di
punti uniti.
Data una trasformazione t e data una curva C, tale trasformazione t trasformerà i
punti P della curva C in punti P’ , appartenenti ad una curva C’. Quindi
una trasformazione trasformerà una curva in una curva . t(C)=C’.
Si dirà retta unita
(da non confondere con retta di punti uniti)
r, quella retta tale che
coincide con la sua traformata .
t(r)=r.
Sia dato la trasformazione. 
. Trasformiamo la
retta generica r: y=mx+q , siccome
dobbiamo sostituire le variabili x e y consideriamo l’inversa 
. Allora
da cui 
; e quindi la
trasformata diventa: 
. Poiché t(r)=r le
due rette devono coincidere:
per m=1 
che è una retta di
punti uniti.
per m=-1 
sono unite tutte
quelle rette parallele avente coefficiente angolare m=–1.
Affinità
- Si
definisce affinità ogni trasformazione di equazioni
- si
definisce determinante dell’affinità
affinché t sia una trasformazione occorre che 
.
Se S è l’area di una figura e S’ è l’area della sua
trasformata nell’affinità allora:
- Se
det(A)>0 allora l’affinità si
dice diretta.
- Se
det(A)<0 l’affinità si dice
contraria.
La trasformazione inversa avrà
equazioni
dove det A corrisponde a 
Similitudine
Se 
l’affinità è una
similitudine di rapporto
- La similitudine di equazioni 
si chiama omotetia
di centro 
.
Tale trasformazione è diretta dato che 
.
Il centro è un punto unito.
Le rette unite sono tutte le rette che passano per il
centro
Isometrie
Se 
allora l’affinità è
una isometria.
- sono
isometrie dirette:
rotazioni (o
rototraslazioni)
è una
rotazione di centro 
è una rotazione di centro 
dove l’inversa sarà , ancora una rotazione ma di
equazione:
oppure una rotazione di centro O(0,0) composto con una
traslazione di vettore 
Se 
abbiamo una
particolare rotazione chiamata
simmetria centrale:
Simmetria centrale
le simmetrie centrali di centro 
hanno equazione
Se 
abbiamo una
particolare rotazione chiamata
traslazione:
traslazioni.
di vettore 
- Sono
isometrie contrarie:
simmetrie assiali
simmetria rispetto
ad una asse r: y=mx+q
simmetria
rispetto ad una asse r: x=k
glissoriflessioni (Solo per conoscenza – Si può saltare)
sono il risultato di una simmetria assiale, e di un
vettore parallelo all’asse.
con k una opportuna costante 
è una gissoriflessione di asse r: y=mx+q
ogni similitudine t
si può ottenere dalla composizione di un’isometria e un omotetia di
centro l’origine:
Allora una similitudine di rapporto k ha equazione:
(dirette) 
oppure (inverse) 
Riconoscere un’affinità:
Prima di tutto controllo il 
, e se 
allora è una
similitudine, di rapporto 
Una similitudine è
sempre composta da omotetia+ un isometria.
se 
allora è
un’isometria.
Se 
1)
se ho un punto unito ho
rotazione. Inoltre se tutte le rette unite passano per il centro la
rotazione è un simmetria centrale.
2)
se non ho punti uniti ho una tralazione
ho una
simmetria assiale + una traslazione.
-
se ho una retta di punti uniti ho una simmetria assiale
-
se non ho punti uniti, ma ho solo una retta unita ho glissoriflessione.
In generale:
|
Una affinità che non è una similitudine che ha una retta
di punti uniti e rette unite tutte parallele ad una certa direzione si chiama
omologia: Sia data una retta r , una costante k , una direzione s
e sia |
|
particolari affinità sono le dilatazioni: -
o se h=k e se |h|=|k|=1 le dilatazioni sono omotetie e simmetrie. o se si escludono questi casi le uniche rette unite sono le gli assi cartesiani e l’unico punto unito è il centro in generale
Se |
, dove il centro è il punto
- una affinità=omologia+omotetia+simmetria.
- In generale prima studio 
:
- Se 
affinità diretta
- 
affinità inversa
-
poi passo a studiare i punti unti,le rette di punti uniti,
le rette unite.
Proprietà geometriche delle affinità
-
In un affinità il rapporto tra le aree corrispondenti
nell’affinità è costante (uguale al det(A)).
-
trasforma rette in rette (tre punti allineati in tre punti allineati)
-
rette parallele in rette parallele
-
In una similitudine il
rapporto tra i segmenti corrispondenti è costante
-
una similitudine conserva l’ampiezza degli angoli
-
una isometria conserva la lunghezza dei segmenti
corrispondenti.
-
un affinità trasforma un parallelogramma in un
parallelogramma
-
una conica in una conica
-
una similitudine trasforma un cerchio in un cerchio
-
una similitudine trasforma quadrati in quadrati
Proprietà di alcune
composizioni.
-
Ogni affinità è la composizione di una isometria, di
un’omotetia e di una omologia.
-
Ogni similitudine è la composizione di una isometria con
un omotetia,il cui centro è il punto fisso della similitudine
-
componendo due simmetrie centrali di centro C1 e C2 , si
ottiene una traslazione di vettore 2C1C2
-
componendo due simmetrie assiali, si ottiene una
traslazione di vettore perpendicolare agli assi e lunghezza il doppio della
lunghezza degli assi
-
componendo due simmetrie assiali perpendicolari, che si
incontrano in C si ottiene una simmetria di centro C
-
Componendo una simmetria centrale di centro C e di vettore
si ottiene una
simmetria centrale il cui centro è traslato di un vettore 
-
componendo una rotazione con una traslazione si ottiene
una rotazione con centro diverso da quello dato
-
la composizione di due simmetrie con assi incidenti è una
rotazione di centro il punto di incontro e angolo il doppio dell’angolo formato
dai due assi
-
la composizione di un numero pari di simmetrie assiali mi
da una rotazione o una traslazione
-
la composizione di un numero dispari mi da o simmetria
assiale o una gissoriflessione